婚約者が音信不通の場合どのようにしたらよいのか、教えてもらいたいです。

初めまして。
ご相談内容を拝見しました。

彼の身元をきちんと特定することが必要です。
現状、住所が不明、実家は不明、職場の情報は曖昧とのことで、伺う限りでは電話番号からの調査になるかと思います。

番号から契約者の情報を確認し、住民票や戸籍の取得を行うことで彼の身元が特定できる可能性があります。
上記行為にあたっては弁護士会を通じた調査が必要になるかと思います。
弁護士にご相談いただければと思います。

相手の住所を探し出すことですね。
探偵さんにも可能かどうか、また金額を確認
のうえ頼んで見てもいいですね。
電話番号から割り出せることもあるようですから。
悪質業者にだまされないようにしてください。
あなたの場合、婚約の事実があるか否かに
ついてはわかりませんね。
ふたりだけで約束しても婚約ありとはいえない
でしょうから。
所在がわかったら損害賠償請求しましょう。

彼の氏名が本名であることは確実でしょうか？

また，本当に彼の父親が最近亡くなったのかどうかも確実かどうかは分かりません

もし，彼が偽名を使用していたり，彼の父親が存命であったり，またはずっと以前になくなっていたりした場合には，極めて悪質な事案となります

彼とのメールやラインなどのやりとりの記録は消さずに取っておきましょう

そして，すぐに弁護士に依頼して，携帯電話の電話番号から契約者の氏名・住所を調査して，住民票や戸籍の調査につなげるとよいでしょう

早ければ今月中にでもいろいろ分かると思います

婚姻関係の不当破棄が成立する可能性が高いでしょう。
貴殿としては、婚姻関係を近い将来形成すると期待していたと思われるところですから、このような期待を裏切る行為に対しては、損害賠償請求可能になる可能性は高いでしょう。
実際物損部分に関してはご指摘のように存在しているわけですから、これらを踏まえ、しっかり領収書などの記録を保存してください。
物損として計上できる可能性は高いでしょう。