彼の子を妊娠、その後音信不通になってしまいました。費用の請求はできるでしょうか？

法的には中絶費用の半額とか出産費用の請求は可能です。
生まれれば養育費の請求も可能です。

費用は掛かりますが、弁護士に依頼して、住所を調べてもらい、そのうえで交渉をお願いすればどうでしょうか。

中絶に要した費用を、とりあえず、全額請求すると
いいでしょう。
交通費や休損があるなら、それも加えていいですよ。
裁判所は、半額程度しか認めていないようですが、任意
交渉の場合は、まずは、全額請求していいですよ。
請求書は、勤務先方で出せばいいでしょう。