内容証明を主人の不倫相手に出しました。返事がきたのですが、どのように対応したら良いかアドバイスください。

誓約書の書き方がまずかったようですね。
離婚になったら別だと言う事が相手に
伝わっていれば問題ないですが、伝わって
いなければ慰謝料請求は難しいですね。
あなたの事情によって慰謝料支払い義務が
発生したりしなかったりするのは、おかしい
ですからね。

誓約書はどのような内容になっていますか。

不倫について、今後夫と連絡を取り合わないことの他、それ以外は互いに権利義務なしということが、あなたと相手の間で合意されていますか。
あるいは、今回はひとまず慰謝料支払は免除するとか、慰謝料の発生はまた連絡を取り合ったときに限るなどの合意は記載されていますか。

誓約書という名前から、相手だけがあなたに対する約束事を記載している体裁になっているものと推察しますが、
そうではなく、もし、あなたと相手の間で、上記のような記載や合意がされている場合には、慰謝料請求も困難になります。

しかし、上記のような記載・合意がない場合には、不倫と離婚の慰謝料については、何らの取り決めもされておらず、未解決のままの状態です。

ですので、この場合、不倫と離婚を理由とする慰謝料請求が可能です。
相手の返答にかかわらず、請求を続けられたらよいです。