相続、葬儀費用について教えてください。

相続人はいないようですね。
相続財産管理人の選任申立てを家裁に行います。
弁護士が選任されるので、管理人は調査、保存、管理
業務を家裁の監督の元に行います。
あなたが支出した費用は、管理人に請求することに
なります。
本来遺産から拠出される費用ですから。

最終的には国のものになります。

　
　相続人がいない場合、誰かが何らかの手続きをしなければ財産はそのままです。自動的に国庫に入るということもありません。
　相応の遺産があるということであれば、家庭裁判所へ相続財産管理人選任の申立をし、選任された相続財産管理人が家庭裁判所の許可を得て（権限外行為許可といいます）、葬儀費用や供養、墓じまいなどの費用を出してくれる可能性があります。ただ、これには亡くなられた方の債務の有無や額も関係します。
　相続財産管理人が選任されれば、最終的に余った財産は国庫に帰属することになりますが、相続人ではなくても亡くなられた方と特別の縁故があった方がいる場合には、その前に、その方の申立てによって（決められた時期に申し立てることが必要です）相続財産の全部又は一部を分与をするという制度があります。

Kさんに兄弟や妻子が無いので、財産はどうなるのでしょうか、
親族に相続権は全く無く、無関係だということで、国庫に入るのでしょうか、

ご両親が居ない、兄弟の子などもいないなどでしたら、その可能性はあるでしょう。

兄と自分が負担した葬儀代などはどうなるのでしょうか？

原則は喪主の負担です。