母が亡くなったのですが、父が母の相続金を渡しません。相続金は銀行預金です。法律通りの相続金を父に渡させるにはどのような方法がありますか。

本来であれば、母名義のままにして、銀行に亡くなった旨を伝え、口座を凍結してもらうべきでした。

→ 銀行の相続手続きのとき父に一旦移すと言われ、

銀行がなぜこんなことをしたのかは不明ですが、間に銀行が入っているのであれば多少安心できるかもしれません。
1番怖いのは、父が勝手に相続財産を使ってしまうことや隠匿することですので、銀行にも注意を促すと良いかしれません。

早急に弁護士に依頼することをお勧めします。
私の場合、書面やりとりでしたら、弁護士費用は交渉可能です。
ご住所が遠く、出張となると、多少の日当が必要ですが、間に銀行が入っているのであれば、とりあえずは書面による交渉で足りると思います。(調停、裁判の受任ももちろん可能です。)
どうぞ宜しくお願い致します。

貴殿の相続分相当額については不当利得として返還請求は可能です。
お父様が預金を処分しないよう、仮差押えを行なう必要がありますが、この場合、弁護士費用の他、裁判所への手数料や、預金残高の何割かの保証金を納める必要があります。
弁護士からお父様と交渉することは可能ですが、交渉で解決しない場合、調停や訴訟等の法的手続きを行なう必要があります。
ただし、お父様が認知症となると、別途成年後見人や特別代理人選任申立てを行なう必要があると思われます。
弁護士費用はどこまで手続きを行なうかによって異なってきますが、訴訟を実施した場合、1年以上要する可能性があります。
一般論として、役所は金銭紛争に介入しないと思われますが、具体的には自治体の運用によります。

調停、裁判の前に弁護士に私に相続金を渡すようにとの判断がでるので相続金を渡すようにと父に説得してもらうことはできますか。

可能です。

説得を弁護士に頼むといくらくらいかかりますか。

弁護士次第ですし、手続きにもよります。
また請求する金額にもよります。
例えば、あくまで一例ですが、調停で遺産分割や不当利得などで請求するならば、２０－３０万くらいからの着手金が相場でしょうか。
金額が上がれば上がりますし、事案が複雑なら上がることもあります。
それに成功報酬と実費でしょう。

調停、裁判を弁護士に頼むと費用、解決まで期間はどのくらいかかりますか。

これも事案次第です。
あえて言えば、半年から５年くらいまででしょうか。

弁護士以外に役所などから父に渡すように言ってもらことはできますか。

これはできません。