コロナの疑いがあり会社を休んだが、派遣社員なので休業手当の請求先がわからない。派遣元、派遣先共に休業手当を出してくれないことってありますか？

初めまして。
私は常用型派遣社員で、コロナの疑いがあり会社を休みましたが、派遣元からも派遣先からも休業手当がもらえずに困っています。

ご確認の程よろしくお願いいたします。

【状況】
年末、同居している彼が会社でコロナ感染者と接触しました。
国が定める濃厚接触者ではないが、念のためPCR検査をしてほしいとPCR検査キットが送られ、検査をしました。(1月3日)

結果は数日かかるとのことだったので私も派遣先に連絡をしたところ、休み明けの5日は出社しないように指示がありました。

6日に彼の検査結果が届き、陰性でしたので翌日から出社していいかの確認をしたら、
派遣先から、
・彼が感染者と接触して二週間以上たっていないことから結果は信用できないので私も検査を受けてから出社してほしい。
・今忙しい時期なので今週中検査を受けてほしいが、検査にかかる費用は負担できない。(安価な検査は一週間先まで予約がいっぱいで、すぐに受けられる病院だと3万円以上かかる)とのこと。

また、休んいる間の休業手当を申請したいと話すと、それもできないと言われました。(質問に詳細を記載します。)

結局、実費で検査を受け、陰性でしたので翌週11日から出社しました。
(この間、平行して、派遣元とも連絡を取り合っていました。)

【質問】

(1)休業手当について
派遣元→休業指示は派遣先からの指示で、うちの会社からの指示ではないので支給できない。
　　　　派遣先に請求できないか取り合ってみる。
派遣先→今回はプライベートで起こったことなので責任はとれない。なので休業手当も出せない。
と、両者共休業手当を出してくれそうにありません。
働ける状況にも関わらず休業をしているのに、休業手当は受けられないのでしょうか。

(2)個人情報について
出社すると、社内のほとんどの人が事情を知っていました。
中には、彼が濃厚接触者だったと、彼経由で感染の疑いがあったことまで知っている人もいました。(濃厚接触者ではないので、間違いの情報が出回っていました)
秘密にしたい個人情報をこんなに流出させるのは、法律的にいいのでしょうか。
私は、いつも指導してくださる上司と、配属されている課の課長にしか連絡していません。

(3)派遣法について
今回伺ったのは休業手当についてですが、いろいろと考えると自腹で検査を受けさせる等、派遣法に引っかかるのではないかと思ってきました。どうなんでしょうか。

以上になります。
現在派遣元の担当者が休業手当をどうするべきか、確認していただいていますが、自分で何が正しくて、どこか間違いがないのか等確認したく相談させていただきました。

ご回答の程よろしくお願いいたします。