犬の散歩中の事故で医者の治療費請求について。

まず、相手方に対して、文書にて、動物占有者の責任に基づく賠償請求と、応じない場合は法的手続を検討中である旨通知した方がよいかもしれません。
交通事故事案ですが、現実に衝突・接触しなくても、近くまで接近した結果としてケガが生じた場合に因果関係を認めた例があります。
治療継続中とのことですので、損害額の確定は治療終了または症状固定（治療継続による回復が見込めない状態）になりますが、具体的な損害額をする場合には、（まずは貴殿名義としたうえで）弁護士に通知書の原案作成を依頼頂いた方がよいかもしれません。

襲われそうになったことと、避難したこと、けがをしたこととの
間に、相当因果関係があれば、損害を請求できます。
通院期間分の慰謝料もですね。
事故の状況が重要です。
防犯カメラの写真で、事故状況が立証できるなら、損害賠償請求書
を作成して送るといいでしょう。
否認あるいは支払いのないときは、調停か弁護士に相談してください。

回答いたします。

まずは話し合いだと思いますが、相手が話し合いに応じない場合には、裁判も考えないといけません。
裁判では、以下を証拠で証明する必要があり、裁判官が間違いないと判断してくれると慰謝料の請求が認められます。

１　犬の挙動→転倒→ケガの発生についての各事実とそのつながり
２　相手の犬の管理についての過失

相手の言い分ですと、犬の挙動と転倒に関係がないということだと思います。
その点については、証拠に基づき犬の挙動を証明し、それを最終的には裁判官が判断することになります。